從本質上來說，一個函數是一種 對應規則 將每個輸入集合中的元素（即 定義域）精確地對應到輸出集合中的一個元素（即 值域）。這種確定性的關係是數學建模的基本組成部分，使我們能夠描述一個變量的行為如何被另一個變量嚴格決定。
考慮一個 鹽濃度模型：如果我們將鹽水注入純水中，濃度 $C(t)$ 就是時間 $t$ 的函數。對於任意選擇的特定時刻，只存在一種可能的濃度水平。這個「一輸入、一輸出」的規則正是微積分的核心。
函數的定義
一個函數 $f$ 是一種規則，它將集合 $D$ 中的每個元素 $x$ 精確地對應到集合 $E$ 中的一個元素，稱為 $f(x)$。我們可以透過以下代數公式來表示：
- $y = mx + b$（線性）
- $f(x) = \sqrt{x}$（根號）
- $\{(x, f(x)) \mid x \in D\}$（集合論定義）
函數不僅僅是一個公式；它也可以由一張數值表（一個 表格函數）或僅僅是一組有序對來定義。
幾何判別準則
垂直線測試（VLT）： 在 $xy$ 平面上，一條曲線代表 $x$ 的函數，當且僅當沒有任何垂直線與該曲線相交超過一次。這確保了「單一輸出」的要求得以滿足。
實際應用：差商
為了衡量這些關係的變化，我們經常會計算表達式 $\frac{f(a+h) - f(a)}{h}$。
逐步示例
設 $f(x) = 2x^2 - 5x + 1$。計算差商：
- 將 $(a+h)$ 代入 $f$：$f(a+h) = 2(a+h)^2 - 5(a+h) + 1$
- 展開：$2(a^2 + 2ah + h^2) - 5a - 5h + 1 = 2a^2 + 4ah + 2h^2 - 5a - 5h + 1$
- 減去 $f(a)$：$(2a^2 + 4ah + 2h^2 - 5a - 5h + 1) - (2a^2 - 5a + 1) = 4ah + 2h^2 - 5h$
- 除以 $h$：$\frac{4ah + 2h^2 - 5h}{h} = 4a + 2h - 5$。
🎯 核心原則
函數代表嚴密的依賴關係。若 $y = f(x)$，則 $y$ 是 因變數 變數，而 $x$ 是 自變數 變數。定義域 $D$ 是所有可能輸入的集合，而值域是所有結果輸出的集合。